PARADOSSO DI GALILEI

Nel trattato “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze” (1638) Galileo Galilei presenta il seguente ragionamento: si consideri l’insieme di numeri interi positivi (1, 2, 3, …, n, …) e l’insieme dei loro quadrati perfetti (1, 4, 9, … n², …). È intuitivamente ovvio che il secondo insieme è un sottoinsieme del primo. È altrettanto facile mostrare come ogni elemento del primo insieme possa essere associato al suo quadrato nel secondo insieme, con una corrispondenza biunivoca di questo tipo:

Potendo associare ogni elemento di un insieme ad un elemento dell’altro possiamo dire che hanno la stessa grandezza. Ma se l’insieme dei quadrati perfetti è un sottoinsieme dei numeri naturali, allora dovrebbe essere più piccolo. Siamo apparentemente davanti ad una contraddizione. Individua la conclusione corretta.

PARADOSSO DELLA CONFERMA

L’osservazione di riscontri empirici di una teoria sembra rendere più probabile che la teoria sia vera. Ad esempio, se ipotizziamo che (i) “tutti i corvi sono neri” e osservando migliaia di esemplari troviamo solo corvi neri, avremo buoni motivi per credere nella nostra teoria. Ogni osservazione di un corvo nero contribuisce a confermare l’ipotesi. Chiaramente questi dati confermeranno anche ogni formulazione equivalente dell’enunciato, come (ii) “tutti gli animali appartenenti al genere Corvus sono neri”. Un’altra formulazione equivalente è la seguente: (iii) “tutte le cose che non sono nere, non sono corvi” (questa proposizione è detta contronominale della prima). In base al principio per cui esempi empirici delle nostre ipotesi le confermano, saremmo tenuti ad affermare che l’osservazione di un cavallo bianco conferma l’enunciato (iii), e dunque anche gli equivalenti (i) e (ii).  Quale delle seguenti premesse non è necessaria?

[Paradossi dell’implicazione stretta]

Una conclusione segue dalle premesse di un’argomentazione se e solo se è impossibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa. Ma allora una contraddizione implicherà qualsiasi conclusione, perché è impossibile che una contraddizione sia vera. Allo stesso modo, una conclusione necessariamente vera sarà implicata da premesse qualsiasi. Si consideri il seguente esempio: (1) Andrea è una madre e Andrea non è una madre. Da questa contraddizione, segue che (2) Andrea è una madre. Ma se Andrea è una madre allora, per il principio dell’addizione, è vero anche che (3) Andrea è una madre o Andrea è un padre. Per la contraddizione (1) è vero anche che (4) Andrea non è una madre. Quindi, da (3) e (4) segue che (5) Andrea è un padre.

Questo paradosso, come ogni altro, muove da certe premesse. Individua tra le seguenti una premessa non necessaria:

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: “Vorresti scegliere la numero 2?”

Ti conviene cambiare la tua scelta originale?

La bella addormentata accetta di sottoporsi a un esperimento. UN gruppo di ricerca la addormenterà domenica utilizzando un particolare sonnifero che provoca anche una parziale amnesia, e a quel punto lancerà una moneta per decidere come proseguire. Se esce testa, la bella addormentata verrà svegliata e intervistata una sola volta, lunedì. Se esce croce, verrà risvegliata e intervistata due volte: una volta lunedì e un’altra volta martedì, dopo essere stata addormentata di nuovo lunedì, dopo l’intervista. Per effetto della particolare amnesia provocata dal sonnifero, ogni volta che viene svegliata la bella addormentata non sa che giorno sia, se lunedì o martedì, e non sa se sia stata svegliata altre volte in precedenza. Ricorda soltanto le regole dell’esperimento, cioè il criterio del lancio della moneta – il cui risultato lei ignora – per decidere quante volte svegliarla e intervistarla. Nell’intervista le viene posta ogni volta una sola domanda: «Quanta probabilità assegni all’ipotesi che sia uscita testa al lancio della moneta?». Individuare tra le seguenti le argomentazioni corrette.

C’è un’isola con 100 prigionieri, tutti con gli occhi verdi. Tutti e 100 i prigionieri sono ottimi logici. Tutti vogliono fuggire dall’isola. La condizione per fuggire dall’isola è quella di riuscire a dedurre il proprio colore degli occhi e di comunicare la risposta alle guardie a mezzanotte. Se la risposta è corretta, il prigioniero viene liberato. In caso contrario, viene ucciso. Le restrizioni sono: Nessuno di loro conosce il proprio colore degli occhi (non ci sono specchi o superfici riflettenti di alcun tipo) e nessuno di loro può comunicare tra loro con qualsiasi mezzo. Tuttavia, possono vedersi e conoscere il colore degli occhi di tutti gli altri.

Il dittatore dell’isola invita un ospite che, mosso dalla compassione, vuole liberare tutti i prigionieri. Il proprietario gli permette di fare una e una sola dichiarazione sotto forma di annuncio a tutti i prigionieri. La dichiarazione non deve trasmettere alcuna nuova informazione. Se l’ospite dà l’informazione giusta, allora alla mezzanotte del centesimo giorno, tutti i prigionieri, individualmente, dicono alle guardie di avere gli occhi verdi e vengono liberati. Quale delle seguenti affermazioni permetterebbe ai prigionieri di liberarsi? (Indizio: il fatto che siano 100 e che si liberino al centesimo giorno non è un caso. Inoltre, se anche un solo prigioniero fosse assente al momento della dichiarazione, nessuno potrebbe fuggire.)